I numeri complessi

L'esigenza di introdurre i numeri complessi è dovuta al fatto che diverse operazioni sui numeri reali IR non sempre sono possibili.

Allo scopo di ovviare a questa carenza si introducono i numeri complessi.
I numeri complessi C sono coppie ordinate di numeri reali

In particolare i numeri del tipo (a,0) vengono considerati identici al numero reale a. Il numero complesso (0,1) si denota con i e si chiama unità immaginaria dei numeri complessi. Il numero i è tale che:

Con l'introduzione dell'unità immaginaria i numeri complessi si possono allora rappresentare nella forma a+ib, dove a rappresenta la parte reale del numero complesso e b la sua parte immaginaria. Due numeri complessi a+ib, c+id coincidono se e solo se a=c, b=d

Operazioni fondamentali con i numeri complessi

Addizione

Sottrazione

Moltiplicazione

Divisione

Valore assoluto

Complesso coniugato


E' possibile eseguire le operazioni sui numeri complessi con le regole del calcolo dei numeri reali trattando i come un numero reale, con l'accortezza di sostituire i con -1.

Rappresentazione geometrica dei numeri complessi

L'addizione dei numeri complessi corrisponde alla regola del parrallelogramma per la somma dei vettori:

   

La forma trigonometrica dei numeri complessi

Introducendo nel piano complesso le coordinate polari al posto delle coordinate cartesiane si ottiene una nuova rappresentazione dei numeri complessi:

il numero complesso


dove

dove r è il modulo di z e t (detto argomento o anomalia) è l'angolo formato tra la direzione positiva dell'asse delle x e la semiretta che congiunge l'origine con il punto z. L'argomento è definito a meno di multipli dell'angolo giro.
Dato un numero complesso a+ib, il suo modulo è dato da:

e, se esso è diverso da zero, il suo argomento t è determinato da



Utilizzando questa rappresentazione il prodotto di due numeri complessi diventa particolarmente semplice:


Dunque, per moltiplicare due numeri complessi si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti.
La formula:



è detta formula di De Moivre e premette di calcolare la potenza n-esima di un numero complesso z:


Chiamiamo radice n-esima di z ogni numero complesso w tale che:


Tale equazione ammette esattamente n soluzioni; se z = r (cos t + i sin t) allora:




I valori di w1, w2, ..., wn sono regolarmente distribuiti lungo la circonferenza avente centro nell'origine raggi pari a r elevato alla 1/n. Le radici sono dunque rappresentate dai vertici di un poligono regolare.
Determiniamo ad esempio le radici del numero complesso


Risulta:
Dunque, per k = 0

per k = 1
per k = 2