Intorni

Sia un punto di R; si chiama intorno di ogni intervallo aperto cui appartiene; si osservi che ha infiniti intorni; noi ci riferiremo, in particolare, agli intorni di che hanno come centro, cioè ad intervalli del tipo ]-, +[ dove, come s'è detto in precedenza, è il raggio:

Quindi, tali intorni, di centro e raggio , sono detti, per le loro proprietà, intorni circolari di .
Un intervallo aperto a destra che ha come estremo inferiore è detto intorno destro di e si denota con [ , +[

Un intervallo aperto a sinistra che ha come estremo superiore è detto intorno sinistro di e si denota con ]-, ]

Ogni intervallo aperto non limitato superiormente si chiama intorno di + e si denota con ]a, +[, dove a è un qualsiasi numero reale

Ogni intervallo aperto non limitato inferiormente si chiama intorno di - e si denota con ]-, b[, dove b è un qualsiasi numero reale

Denotiamo, ora, con l'insieme ampliato dei numeri reali, cioè l'insieme ottenuto da R aggiungendo ad esso + e -.
Sussiste la seguente

Proposizione: se x e y sono due punti distinti di , allora esistono almeno un intorno di x, Ix, ed almeno un intorno di y, Iy, disgiunti, cioè tali che:

Ix Iy = Æ

Punti di accumulazione

Siano X un insieme numerico e un punto di R; può appartenere o non appartenere ad X, si dice, allora, che è un punto di accumulazione per X se in ogni intorno I di cade almeno un punto di X distinto da stesso.

 

Osserviamo che in fig. 1.21 è mostrato il caso in cui appartiene ad X, mentre in fig. 1.22 è mostrato il caso in cui non appartiene ad X (la scala è molto espansa). In entrambe le figure sono evidenziati con un puntino i punti di X distinti da che appartengono ad I.

Prima di continuare con la trattazione sui punti di accumulazione, diamo la definizione di insieme finito e la definizione di insieme infinito.

Si dice che un insieme X è un insieme finito se esiste un numero naturale n tale che ad X appartengono esattamente n elementi.
Si dice che un insieme X è un insieme infinito se, qualunque sia il numero naturale n, all'insieme X appartengono più di n elementi.

Osserviamo, ora, che, se in ogni intorno di cade almeno un punto di X che sia distinto da , allora necessariamente in ogni intorno di cadono infiniti punti. Sussiste, quindi, in merito la seguente:

Proposizione: un insieme X dotato di un punto di accumulazione è un insieme infinito.

Esaminiamo, ora, il caso in cui appartiene ad X ma non è punto di accumulazione per X.
Ciò vuol dire che esiste almeno un intorno J di
in cui non cadono altri punti di X.
In questo caso si dice che
è un punto isolato di X.

Diamo, ora, la definizione di punto di accumulazione a destra e di punto di accumulazione a sinistra.
Si dice che è punto di accumulazione a destra per l'insieme X se in ogni intorno sinistro di cade almeno un punto di X distinto da .
Si dice che è punto di accumulazione a sinistra per l'insieme X se in ogni intorno destro di cade almeno un punto di X distinto da .

Esaminiamo, ora, il caso di + e di - come punti di accumulazione. Sia, dunque, X un insieme. Si dice, allora, che + è punto di accumulazione per X se in ogni intorno di + cade almeno un punto di X. Si dice, inoltre, che - è punto di accumulazione per X se in ogni intorno di - cade almeno un punto di X.

Nel primo caso, dire che + è punto di accumulazione per X equivale a dire che l'insieme X non è limitato superiormente, mentre, nel secondo caso, dire che - è punto di accumulazione per X equivale a dire che X non è limitato inferiormente.
Sussiste il seguente teorema di cui, per brevità, non riporteremo la dimostrazione:

Teorema di Bolzano-Weierstrass:
Ogni insieme X, sottoinsieme di R, che sia limitato ed infinito ammette almeno un punto di accumulazione.

Sia X un sottoinsieme di R e sia un punto di R. Se è punto di accumulazione per X ed è diverso da + e da -, allora si dice che è punto di accumulazione al finito per X.

Consideriamo, ora, l'insieme dei punti di accumulazione di X. Allora, si chiama insieme derivato dell'insieme X e si denota con D(X) l'insieme dei punti di accumulazione al finito di X.

Un insieme X, inoltre, si dice insieme chiuso quando contiene il proprio derivato.

Sussiste in merito la seguente
Proposizione: il derivato di un insieme è un insieme chiuso

Consideriamo, ora, un insieme X e il suo derivato D(X); consideriamo, inoltre, l'unione di X e di D(X), cioè
X
D(X)

Un punto appartenente a X (X) è detto punto aderente ad X.

Un punto aderente ad X può:
1. appartenere ad X come punto isolato;
2. appartenere ad X ed essere punto di accumulazione;
3. non appartenere ad X ed essere, però, punto di accumulazione per X.

L'insieme X D(X) è, quindi, l'insieme dei punti aderenti ad X; esso è detto aderenza di X e si denota con .

Sussiste in merito la seguente
Proposizione: Condizione Necessaria e Sufficiente affinché un insieme sia chiuso è che coincida con la propria aderenza.

Da tale proposizione segue che l'aderenza può anche essere detta chiusura.
Si osservi, infine, che un insieme chiuso e limitato è detto insieme compatto.