Limite di una funzione reale di una variabile reale
Sia f una funzione reale
di una variabile reale, definita in X R. Sia
un punto di accumulazione per
X, al finito o all'infinito. Sia l un numero reale. Si dice, allora, che la
funzione f tende o converge ad l per x tendente ad
o al tendere di x ad
e si
scrive:
se ad ogni intorno U di l è possibile
associare un intorno I di in modo tale che ad ogni x appartenente ad I-{
} corrisponde un f(x)
appartenente a U; in simboli: x
I - {
}
f(x)
U
[l'implicazione
precedente sta a significare che, comunque si prendano i punti x dell'intorno I
(e tali punti devono essere diversi da , cioè si considera l'intorno I
escluso il punto
), i valori della funzione f corrispondenti a tali punti, cioè le f(x),
appartengono a U.]
Il numero l è detto il limite della
funzione f in e
la formula scritta sopra si legge limite per x che tende ad
di f(x) è uguale ad l.
Possiamo, quindi, dire che la funzione f tende al limite l al tendere di x ad
. Osserviamo
inoltre che vale il
Teorema dell'unicità del
limite:
Una funzione f che ammetta limite l per x tendente ad non può tendere in
a due limiti
distinti, cioè il limite l è unico.