Problemi applicati di massimo e di minimo

1 - Scrivere il numero 8 come somma di due numeri non negativi tali che la somma del quadrato del primo e il cubo del secondo sia minima. Risolvere il problema anche nel caso in cui la somma debba essere massima.

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2 - Un triangolo di base b e altezza h ha gli angoli alla base acuti. Un rettangolo è iscritto nel triangolo con un lato sulla base del triangolo. Dimostrare che il rettangolo di area massima ha base b/2 e altezza h/2 e quindi la sua area è la metà di quella del triangolo.

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3 - Trovare l'area del più grande rettangolo con la base sull'asse x e vertici superiori sulla parabola y= 27 - x.

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4 - Un triangolo isoscele ha vertice nell'origine e base parallela all'asse x con vertici sulla parabola 9y= 27 - x. Trovare l'area del triangolo più grande.

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5 - Se un rettangolo ha area pari a 32 cm, quali devono essere le sue dimensioni se la distanza di un vertice dal punto medio del lato non adiacente deve essere minima?

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6 - Esprimere 18 come somma di due numeri positivi tali che il prodotto di uno con il quadrato dell'altro sia massimo.

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7 - Dimostrare che il rettangolo di perimetro minimo di area fissata è il quadrato.


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8 - Dimostrare che tra tutti i triangoli isosceli di perimetro assegnato quello equilatero ha area massima.

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9 - Tra tutti i trapezi isosceli, iscritti in un semicerchio, trovare quello di area massima.

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10 - Una pietra lanciata in uno stagno genera attorno a sé una serie di onde concentriche. Se il raggio r dell'onda più esterna aumenta al ritmo di 6 dm/s, trovare la velocità di variazione dell'area della regione occupata dall'acqua che si è increspata: (a) quando r = 10 dm; (b) quando r = 20 dm.

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11 - Una quantità di sabbia è accumulata in un deposito conico alla velocità costante di 50 dm al minuto. Le forze di attrito fanno si che a ogni istante l'altezza del cono sia pari al raggio di base. Quale è la velocità di crescita dell'altezza del cumulo di sabbia quando essa è di 5 dm?

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12 - Formare con un filo di lunghezza L un quadrato e un triangolo equilatero tali che la somma delle loro aree sia massima.


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