GLI INSIEMI

 

Un insieme è una classe di oggetti. Gli oggetti si chiamano elementi di un insieme. Gli insiemi e gli elementi che li compongono vengono denotati con lettere, maiuscole e  minuscole rispettivamente.

 

Sia I un insieme. Per indicare che x è un elemento dell’insieme I si usa la notazione:

x Î I

che si legge x appartiene ad I.

 

Per indicare, invece, che x non è un elemento dell’insieme I si usa la notazione:

x ÏI

e che si legge x non appartiene ad I.

 

Siano I e J due insiemi. Se, ogni elemento di J appartiene anche ad I, allora si dice che J è incluso in I o che J è contenuto in I e si scrive: J  Í  I , oppure si dice che I include J  e si scrive:  I  Ê J, (in questo caso si dice che J è un sottoinsieme di I).

Se esiste almeno un elemento di I che non appartiene a J si dice che J è un sottoinsieme proprio di I e si scrive:

 

J Ì I     oppure     I  É J

 

 

 

 

Sia dato un insieme I; se vogliamo indicare esplicitamente i suoi elementi possiamo usare le parentesi graffe e scrivere, ad esempio:

 

I = { x1 , x2 , ….. }

 

L’ insieme vuoto è l’insieme che non contiene alcun elemento; esso si indica con il simbolo Æ. L’insieme vuoto, naturalmente, è sottoinsieme di ogni insieme.


 

Unione e intersezione di insiemi

 

Siano I ed J due insiemi. Si definisce intersezione di I e J e si denota con I Ç J l’insieme costituito dagli elementi che appartengono contemporaneamente a I e d J, cioè

I Ç J = { x : x ÎI e x ÎJ  }.

 

 

Due insiemi I ed J si dicono disgiunti se la loro intersezione è uguale all’insieme vuoto, cioè se:

 

I Ç J = Æ

 

Si definisce unione di I ed J e si denota con I U J l’insieme costituito dagli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi, cioè l’insieme di tutti gli elementi che  appartengono a I e a  J. In simboli si scrive :

 

I U J = { x : x ÎI oppure x Î J }.

 

 

 

 

Si definisce differenza tra I ed J e si denota con I – J  l’insieme di tutti gli elementi di I che non appartengono ad J. In simboli si scrive:

 

I – J = { x : x Î I    e    x Ï J}

 

 

Insiemi e sottoinsiemi particolari

 

 

Insiemi particolarmente importanti sono l’insieme N dei numeri naturali:

 

N = { 0, 1, 2, 3 ,….}

 

 l’insieme Z dei numeri interi relativi:

 

Z = { …, -3, -2 ,-1 , 0, 1, 2, 3, ….}

 

l’insieme Q dei numeri razionali ed, infine, l’insieme R  dei numeri reali.

 

L’intervallo chiuso di estremi a e b,   [a, b ], èdefinito dalla disuguaglianza:

a  £  x £  b

 

Gli intervalli  ]a,b[, ]a,b] e [a,b[ sono intervalli limitati ai quali mancano rispettivamente i due estremi (intervallo aperto),  l'estremo a (intervallo aperto a sinistra) e l'estremo b (intervallo aperto a destra).

 E’ possibile definire anche gli intervalli non limitati. Più precisamente, si chiama intervallo chiuso non limitato superiormente di estremo inferiore a e si denota con [a, +¥[ l’insieme di tutti i numeri reali x che soddisfano la seguente disuguaglianza:

 

x  ³ a

 

Si chiama intervallo aperto non limitato superiormente di estremo inferiore a e si denota con ]a, +¥[ l’insieme di tutti i numeri reali x che soddisfano la seguente disuguaglianza:

 

x  > a

 

 

Si chiama intervallo chiuso non limitato inferiormente di estremo superiore b e si denota con ]-¥, b] l’insieme di tutti i numeri reali x che soddisfano la seguente disuguaglianza:

 

x  £ b

 

Si chiama intervallo aperto non limitato inferiormente di estremo superiore b e si denota con ]-¥, b[ l’insieme di tutti i numeri reali x che soddisfano la seguente disuguaglianza:

 

x <  b

 

 

 

 

Geometricamente, tali intervalli sono rappresentabili mediante delle semirette che contengono o meno il loro punto di origine.