I numeri
complessi
L'esigenza
di introdurre i numeri complessi è dovuta al fatto che diverse operazioni
sui numeri reali IR non sempre sono possibili.
Allo scopo di ovviare a questa carenza si introducono i numeri complessi.
I numeri complessi C sono coppie ordinate di numeri reali
In
particolare i numeri del tipo (a,0) vengono considerati
identici al numero reale a. Il numero complesso
(0,1) si denota con i e si chiama unità
immaginaria dei numeri complessi. Il numero i è tale che:
Con
l'introduzione dell'unità immaginaria i numeri complessi si possono allora
rappresentare nella forma a+ib, dove a
rappresenta la parte reale del numero complesso e b
la sua parte immaginaria. Due numeri complessi a+ib,
c+id coincidono se e solo se a=c,
b=d
Operazioni
fondamentali con i numeri complessi
Addizione
Sottrazione
Moltiplicazione
Divisione
Valore
assoluto
Complesso
coniugato
E'
possibile eseguire le operazioni sui numeri complessi con le regole del calcolo
dei numeri reali trattando i come un numero reale, con l'accortezza di sostituire
i
con -1.
Rappresentazione
geometrica dei numeri complessi
L'addizione
dei numeri complessi corrisponde alla regola del parrallelogramma per la somma
dei vettori:
La
forma trigonometrica dei numeri complessi
Introducendo
nel piano complesso le coordinate polari al posto delle coordinate cartesiane
si ottiene una nuova rappresentazione dei numeri complessi:
il
numero complesso
dove
dove
r è il modulo di z e t
(detto argomento o anomalia) è l'angolo formato tra la direzione positiva
dell'asse delle x e la semiretta che congiunge l'origine con il punto z. L'argomento
è definito a meno di multipli dell'angolo giro.
Dato un numero complesso a+ib, il suo modulo è
dato da:
e,
se esso è diverso da zero, il suo argomento t è determinato da
Utilizzando
questa rappresentazione il prodotto di due numeri complessi diventa particolarmente
semplice:
Dunque,
per moltiplicare due numeri complessi si moltiplicano i moduli e si sommano gli
argomenti.
La formula:
è
detta formula di De Moivre e premette di calcolare
la potenza n-esima di un numero complesso z:
Chiamiamo
radice n-esima di z ogni numero complesso w tale che:
Tale
equazione ammette esattamente n soluzioni; se z = r (cos
t + i sin t) allora:
I valori di w1, w2,
..., wn sono regolarmente distribuiti lungo la circonferenza
avente centro nell'origine raggi pari a r elevato alla 1/n.
Le radici sono dunque rappresentate dai vertici di un poligono regolare.
Determiniamo ad esempio le radici del numero complesso
Risulta:
Dunque,
per k = 0
per
k = 1
per
k = 2